số nguyên dương là gì

By Admin 26/10/2023 0
Cấu trúc đại số → lý thuyết nhóm
Lý thuyết nhóm

Thuật ngữ cơ bản

  • Nhóm con
  • Nhóm con cái chuẩn chỉnh tắc
  • Nhóm thương
  • Tích trực tiếp
  • Tích nửa trực tiếp
Đồng cấu nhóm
  • hạt nhân
  • ảnh
  • tổng trực tiếp
  • tích bện
  • đơn
  • hữu hạn
  • vô hạn
  • liên tục
  • nhân
  • cộng tính
  • cyclic
  • giao hoán
  • nhị diện
  • lũy linh
  • giải được
  • tác động
  • Từ vựng người sử dụng vô lý thuyết nhóm
  • Danh sách những chủ thể vô lý thuyết nhóm

Nhóm hữu hạn

Bạn đang xem: số nguyên dương là gì

Phân loại group đơn hữu hạn
  • cyclic
  • thay phiên
  • dạng Lie
  • sporadic
  • định lý Cauchy
  • định lý Lagrange
  • Định lý Sylow
  • Định lý Hall
  • p-nhóm
  • Nhóm abel sơ cấp
  • Nhóm Frobenius
  • Nhân tử Schur

Nhóm Mathieu

  • M11
  • M12
  • M22
  • M23
  • M24

Nhóm Conway

  • Co1
  • Co2
  • Co3

Nhóm Janko

  • J1
  • J2
  • J3
  • J4

Nhóm Fischer

  • F22
  • F23
  • F24
  • nhóm đối xứng Sn
  • Nhóm tứ Klein V
  • Nhóm nhị diện Dn
  • Nhóm Quaternion Q
  • Nhóm Dicyclic Dicn
  • Nhóm tách rạc
  • Lưới
  • Số nguyên vẹn ()
  • Nhóm tự động do

Nhóm tế bào đun

  • PSL(2, )
  • SL(2, )
  • Nhóm số học
  • Lưới
  • Nhóm hyperbolic

Tô pô và group Lie

  • Solenoid
  • Đường tròn
  • Tuyến tính tổng quát lác GL(n)
  • Tuyến tính quan trọng đặc biệt SL(n)
  • Trực uỷ thác O(n)
  • Euclid E(n)
  • Trực uỷ thác quan trọng đặc biệt SO(n)
  • Unita U(n)
  • Unita quan trọng đặc biệt SU(n)
  • Symplectic Sp(n)
  • G2
  • F4
  • E6
  • E7
  • E8
  • Lorentz
  • Poincaré
  • Bảo giác
  • Vi đồng phôi
  • Vòng

Nhóm Lie vô hạn chiều

  • O(∞)
  • SU(∞)
  • Sp(∞)

Nhóm đại số

  • Nhóm đại số tuyến tính
  • Nhóm khả quy
  • Đa tạp uỷ thác hoán
  • Đường cong elliptic
  • x
  • t
  • s

Trong toán học tập, số nguyên được khái niệm một cơ hội phổ biến là một vài hoàn toàn có thể được ghi chép tuy nhiên không tồn tại bộ phận phân số. Ví dụ: 21, 4, 0 và −2048 là những số nguyên vẹn, trong những lúc 9,75, 5 1/2 và ko cần là số nguyên vẹn.

Tập phù hợp những số nguyên vẹn bao hàm 0, những số ngẫu nhiên dương (1, 2, 3,...), còn được gọi là số đếm,[1][1] và những nghịch ngợm hòn đảo phép tắc nằm trong của bọn chúng (là những số nguyên vẹn âm, tức là, −1, −2, −3, ...). Tập phù hợp những số nguyên vẹn thông thường được biểu thị bằng văn bản in đậm (Z) hoặc chữ rộng lớn với viền với vần âm "Z" bắt mối cung cấp kể từ giờ Đức Zahlen (nghĩa là "số").[2][3][4][5] là một trong những tụ tập con cái của tụ tập những số hữu tỷ , cho tới lượt nó là một trong những tụ tập con cái của tụ tập những số thực . Giống như tụ tập những số ngẫu nhiên, là tụ tập vô hạn điểm được.

Các số nguyên vẹn tạo nên trở thành group nhỏ nhất và vòng nhỏ nhất chứa chấp những số ngẫu nhiên. Trong lý thuyết số đại số, những số nguyên vẹn nhiều lúc được xem như là số nguyên vẹn hữu tỉ nhằm phân biệt bọn chúng với những số nguyên vẹn đại số tổng quát lác rộng lớn. Trên thực tiễn, số nguyên vẹn (hữu tỉ) là số nguyên vẹn đại số tuy nhiên cũng chính là số hữu tỉ.

Ký hiệu[sửa | sửa mã nguồn]

Biểu tượng hoàn toàn có thể được dùng làm biểu thị những tụ tập không giống nhau, với cơ hội dùng không giống nhau trong số những người sáng tác không giống nhau: ,[2] hoặc so với những số nguyên vẹn dương, hoặc cho những số nguyên vẹn ko âm và cho những số nguyên vẹn không giống 0. Một số người sáng tác dùng ký hiệu cho những số nguyên vẹn không giống 0, trong những lúc những người dân không giống dùng nó cho những số nguyên vẹn ko âm hoặc mang lại {–1, 1}. Bên cạnh đó, được dùng nhằm biểu thị luyện những số nguyên vẹn modulo p[2] (tức là luyện những lớp đồng dư của những số nguyên) hoặc luyện những số nguyên vẹn p -adic.[1][6][7]. nên là nếu còn muốn dùng ký hiệu hoặc ký hiệu thì cần khái niệm lại bên trên đề đánh giá, nếu như bên trên đề không tồn tại khái niệm thì coi như đề này là sai. Có một vài bài xích câu hỏi chứng tỏ quy hấp thụ thông thường hoặc dùng nhằm loại chuồn tình huống không giống ko.Chúng tao cần địa thế căn cứ vô sách giáo khoa lớp 6 thực hiện địa thế căn cứ, vô sách lớp 6 tụ tập số nguyên vẹn chỉ mất kí hiệu là Z nên những khi tất cả chúng ta mang lại đề tuy nhiên với dùng ký hiệu không giống thông thường như hoặc thì tất cả chúng ta cần khái niệm bên trên đề là hoặc là tụ tập những số ngẫu nhiên không giống ko, nếu như không tồn tại khái niệm bên trên đề thì coi như đề này là sai

Tính chất[sửa | sửa mã nguồn]

Các số nguyên vẹn hoàn toàn có thể được xem như là những điểm tách rốc, cơ hội đều nhau bên trên một trục số nhiều năm vô hạn. Tại hình bên trên, những số nguyên vẹn ko âm được hiển thị bởi màu xanh da trời lam và số nguyên vẹn âm red color.

Giống như các số ngẫu nhiên, là tụ tập đóng góp với những phép tắc toán nằm trong và nhân, tức là tổng và tích của nhì số nguyên vẹn ngẫu nhiên là một vài nguyên vẹn. Tuy nhiên, với việc bao hàm cả những số nguyên vẹn âm (và cần thiết là 0), , không phải như những số ngẫu nhiên, cũng chính là tụ tập đóng góp với phép tắc trừ.[8]

Các số nguyên vẹn tạo nên trở thành một vòng đơn vị chức năng, vốn liếng là vòng cơ bạn dạng nhất, theo dõi nghĩa sau: so với ngẫu nhiên vòng đơn vị chức năng này, đều phải sở hữu một phép tắc đồng cấu độc nhất kể từ những số nguyên vẹn vô vòng này. Thuộc tính phổ quát lác này, rõ ràng là một trong những đối tượng người tiêu dùng lúc đầu vô loại vòng, là đặc thù mang lại vòng .

ko đóng góp với phép tắc phân chia, vì thế thương của nhì số nguyên vẹn (ví dụ: 1 phân chia mang lại 2) hoàn toàn có thể ko là số nguyên vẹn. Mặc mặc dù những số ngẫu nhiên là đóng góp với phép tắc lũy quá, tuy nhiên những số nguyên vẹn thì ko (vì thành quả hoàn toàn có thể là một trong những phân số Khi số nón là âm).

Bảng sau liệt kê một vài đặc thù cơ bạn dạng của phép tắc nằm trong và phép tắc nhân so với ngẫu nhiên số nguyên vẹn a, b và c:

Tính hóa học của phép tắc nằm trong và phép tắc nhân bên trên số nguyên
Phép cộng Phép nhân
Tính đóng: a + b là số nguyên a × b là số nguyên
Tính kết hợp: a + (b + c) = (a + b) + c a × (b × c) = (a × b) × c
Tính uỷ thác hoán: a + b = b + a a × b = b × a
Tồn bên trên thành phần đơn vị: a + 0 = a a × 1 = a
Tồn bên trên thành phần nghịch ngợm đảo: a + (−a) = 0 Số nguyên vẹn độc nhất với thành phần nghịch ngợm hòn đảo (gọi là đơn vị) là −1 và 1.
Thuộc tính phân phối: a × (b + c) = (a × b) + (a × c) và (a + b) × c = (a × c) + (b × c)
Không với ước số của 0: Nếu a × b = 0, thì a = 0 hoặc b = 0 (hoặc cả hai)

Trong ngữ điệu của đại số trừu tượng, năm tính chất trước tiên được liệt kê phía trên xác định rằng là một trong những group abel với phép tắc nằm trong. Nó cũng là một trong những group cyclic, vì thế từng số nguyên vẹn không giống 0 đều hoàn toàn có thể được ghi chép bên dưới dạng tổng hữu hạn 1 + 1 +... + 1 hoặc (−1) + (−1) +... + (−1). Trên thực tiễn, với phép tắc nằm trong là nhóm tuần trả vô hạn duy nhất — theo dõi tức là ngẫu nhiên group tuần trả vô hạn này đều là đẳng cấu với .

Bốn tính chất trước tiên được liệt kê phía trên được chấp nhận nhân bảo rằng cùng theo với phép tắc nhân là một trong những monoid uỷ thác hoán. Tuy nhiên, ko cần từng số nguyên vẹn đều phải sở hữu nghịch ngợm hòn đảo nhân (như tình huống của số 2), Có nghĩa là với phép tắc nhân ko cần là một trong những group.

Tất cả những quy tắc kể từ bảng tính chất bên trên (ngoại trừ quy tắc cuối cùng), Khi được kết phù hợp với nhau, bảo rằng cùng theo với phép tắc nằm trong và phép tắc nhân là một trong những vòng uỷ thác hoán với thành phần đơn vị chức năng. Nó là nguyên vẹn hình mẫu của toàn bộ những đối tượng người tiêu dùng của cấu tạo đại số vì vậy. Chỉ những đẳng thức của biểu thức là đúng trong các mang lại toàn bộ những độ quý hiếm của biến hóa, thì cũng chính là đúng trong các ngẫu nhiên vòng uỷ thác hoán với đơn vị chức năng này. Một số số nguyên vẹn không giống 0 ánh xạ cho tới 0 vô một vài vòng chắc chắn.

Việc thiếu thốn những ước số của 0 trong những số nguyên vẹn (thuộc tính sau cuối vô bảng) Có nghĩa là vòng uỷ thác hoán là một trong những miền nguyên vẹn.

Việc thiếu thốn những phép tắc nghịch ngợm hòn đảo của phép tắc nhân, tương tự với thực tiễn là ko cần là đóng góp với phép tắc phân chia, Có nghĩa là không phải là một trong những ngôi trường. Trường nhỏ nhất chứa chấp những số nguyên vẹn bên dưới dạng một vòng con cái là ngôi trường những số hữu tỉ. Quá trình kiến tạo những số hữu tỉ kể từ những số nguyên vẹn hoàn toàn có thể được làm theo sẽ tạo trở thành ngôi trường phân số của ngẫu nhiên miền nguyên vẹn này. Và ngược lại, chính thức kể từ ngôi trường số đại số (phần không ngừng mở rộng của số hữu tỉ), vòng số nguyên vẹn của chính nó hoàn toàn có thể được trích xuất, bao hàm như thể vòng con cái của chính nó.

Mặc mặc dù phép tắc phân chia thường thì ko được khái niệm bên trên , phép tắc phân chia "với phần dư" được xác lập bên trên bọn chúng. Nó được gọi là phép tắc phân chia Euclid, và với đặc thù cần thiết sau: mang lại nhì số nguyên vẹn a và b với b ≠ 0, tồn bên trên những số nguyên vẹn q và r độc nhất sao mang lại a = q × b + r và 0 ≤ r < |b|, ở đâu |b| biểu thị độ quý hiếm vô cùng của b.[9] Số nguyên vẹn q được gọi là thương và r được gọi là phần dư của phép tắc phân chia a mang lại b. Thuật toán Euclid nhằm tính ước số công cộng lớn số 1 hoạt động và sinh hoạt với 1 chuỗi những phép tắc phân chia Euclid.

Một đợt tiếp nhữa, vô ngữ điệu của đại số trừu tượng, phần bên trên bảo rằng là một trong những vòng Euclid. Như vậy ý niệm rằng là một trong những vòng ideal chủ yếu và ngẫu nhiên số nguyên vẹn dương nào thì cũng hoàn toàn có thể được ghi chép bên dưới dạng tích của những số nhân tố theo dõi một cơ hội cơ bạn dạng độc nhất.[10] Đây là lăm le lý cơ bạn dạng của số học tập.

Thuộc tính lý thuyết loại tự[sửa | sửa mã nguồn]

là một trong những tụ tập với trật tự trọn vẹn không tồn tại số lượng giới hạn bên trên hoặc bên dưới. Thứ tự động của được khái niệm là: :... −3 < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < 3 <... Một số nguyên vẹn là dương nế như đó to hơn 0 và âm nế như đó nhỏ rộng lớn 0. Số ko (0) được khái niệm là ko âm cũng ko dương.

Thứ tự động của những số nguyên vẹn tương mến với những phép tắc toán đại số Theo phong cách sau:

  1. Nếu a < b và c < d, thì a + c < b + d
  2. Nếu a < b và 0 < c, thì ac < bc.

Vì vậy, tao Tóm lại rằng cùng theo với trật tự bên trên là một trong những vòng với trật tự.

Các số nguyên vẹn là group abel với trật tự trọn vẹn ko tầm thông thường độc nhất với những thành phần dương được bố trí theo dõi trật tự hợp lí.[11] Như vậy tương tự với tuyên tía rằng ngẫu nhiên vòng reviews Noether nào thì cũng là một trong những ngôi trường — hoặc một vòng định vị vô nằm trong cần thiết.

Xây dựng[sửa | sửa mã nguồn]

Representation of equivalence classes for the numbers −5 to lớn 5
Các điểm red color thể hiện tại những cặp số ngẫu nhiên với trật tự. Các điểm red color được links là những lớp tương tự đại diện thay mặt cho những số nguyên vẹn màu xanh da trời lam ở cuối dòng sản phẩm.

Trong quy trình dạy dỗ học tập ở ngôi trường đái học tập, những số nguyên vẹn thông thường được khái niệm một cơ hội trực quan tiền là những số ngẫu nhiên (dương), số 0 và những số đối của những số ngẫu nhiên. Tuy nhiên, loại khái niệm này dẫn theo nhiều tình huống không giống nhau (mỗi phép tắc toán số học tập cần phải xác lập bên trên từng tổng hợp những loại số nguyên) và khiến cho việc chứng tỏ rằng những số nguyên vẹn tuân theo dõi những lăm le luật số học tập không giống nhau trở thành tẻ nhạt nhẽo.[12] Do ê, vô toán học tập lý thuyết tụ tập tiến bộ, một cấu tạo trừu tượng hơn[13] được chấp nhận người tao xác lập những phép tắc toán số học tập tuy nhiên không tồn tại ngẫu nhiên phân biệt tình huống này thông thường được dùng để thay thế thế.[14] Do ê, những số nguyên vẹn hoàn toàn có thể được kiến tạo đầu tiên như các lớp tương tự của những cặp số ngẫu nhiên với trật tự (a,b).[15]

Trực giác là (a,b) là ghi chép tắt của thành quả của phép tắc trừ a-b.[15] Để xác nhận kỳ vọng của tất cả chúng ta rằng 1 − 2 và 4 − 5 biểu thị nằm trong một vài, tất cả chúng ta xác lập mối quan hệ tương tự ~ bên trên những cặp này với quy tắc sau:

Xem thêm: bản demo là gì

chỉ khi

Phép nằm trong và phép tắc nhân những số nguyên vẹn hoàn toàn có thể được khái niệm theo dõi những phép tắc toán tương tự bên trên những số tự động nhiên;[15] bằng phương pháp dùng [(a,b)] nhằm biểu thị lớp tương tự với (a,b) là member, lớp này có:

Số đối (hoặc phép tắc nghịch ngợm hòn đảo của phép tắc cộng) của một vài nguyên vẹn đạt được bằng phương pháp hòn đảo ngược trật tự của cặp:

Do ê phép tắc trừ hoàn toàn có thể được khái niệm là phép tắc cùng theo với nghịch ngợm hòn đảo của phép tắc cộng:

Thứ tự động tiêu xài chuẩn chỉnh bên trên những số nguyên vẹn được thể hiện với bất đẳng thức:

Khi và chỉ Khi

Dễ dàng xác minh rằng những khái niệm này sẽ không tùy thuộc vào việc lựa lựa chọn đại diện thay mặt của những lớp tương tự.

Mọi lớp tương tự với 1 member độc nhất với dạng (n,0) hoặc (0,n) (hoặc cả nhì và một lúc). Số ngẫu nhiên n được xác lập với lớp [(n,0)] (nghĩa là, những số ngẫu nhiên được nhúng vô những số nguyên vẹn bằng phương pháp ánh xạ gửi n cho tới [(n,0)]) và lớp [(0,n)] được ký hiệu −n (điều này bao hàm toàn bộ những lớp sót lại và mang lại lớp [(0,0)] gấp đôi bởi −0 = 0.

Do ê, [(a,b)] được ký hiệu là

Nếu những số ngẫu nhiên được xác lập với những số nguyên vẹn ứng (sử dụng phép tắc nhúng được kể ở trên), thì quy ước này sẽ không dẫn đến sự mơ hồ nước.

Ký hiệu này bình phục trình diễn không xa lạ của những số nguyên vẹn là {..., −2, −1, 0, 1, 2,...} {..., −2, −1, 0, 1, 2,...} {..., −2, −1, 0, 1, 2,...} {..., −2, −1, 0, 1, 2,...}.

Một số ví dụ:

Trong khoa học tập PC lý thuyết, những cơ hội tiếp cận không giống nhằm kiến tạo những số nguyên vẹn được dùng bởi những máy dò xét lăm le lý tự động hóa và những dụng cụ ghi chép lại thuật ngữ. Số nguyên vẹn được trình diễn bên dưới dạng những thuật ngữ đại số được kiến tạo bằng phương pháp dùng một vài ba phép tắc toán cơ bạn dạng (ví dụ: zero, succ, pred) và, hoàn toàn có thể, dùng những số ngẫu nhiên, được giả thiết là và đã được kiến tạo (sử dụng cách thức Peano).

Tồn bên trên tối thiểu mươi cơ hội kiến tạo những số nguyên vẹn với vết.[16] Các cấu tạo này không giống nhau theo dõi một vài cách: con số những phép tắc toán cơ bạn dạng được dùng mang lại cấu tạo, con số (thường là kể từ 0 cho tới 2) và những loại đối số được những phép tắc toán này chấp nhận; sự hiện hữu hoặc vắng tanh mặt mũi của những số ngẫu nhiên thực hiện đối số của một vài phép tắc toán này và thực tiễn là những phép tắc toán này còn có cần là hàm tạo nên tự tại hay là không, tức là nằm trong một vài nguyên vẹn hoàn toàn có thể được trình diễn chỉ bởi một hoặc nhiều số hạng đại số.

Kỹ thuật kiến tạo những số nguyên vẹn được trình diễn phía trên vô phần này ứng với tình huống rõ ràng vô ê với 1 cặp phép tắc toán cơ bạn dạng duy nhất nhận đối số là nhì số ngẫu nhiên và và trả về một vài nguyên vẹn (bằng ). Thao tác này sẽ không tự tại vì thế số nguyên vẹn 0 hoàn toàn có thể được ghi chép là cặp (0,0), hoặc cặp (1,1) hoặc cặp (2,2), v.v. Kỹ thuật kiến tạo này được dùng bởi trợ lý chứng tỏ Isabelle; tuy vậy, nhiều dụng cụ không giống dùng những chuyên môn kiến tạo thay cho thế, xứng đáng để ý là những chuyên môn dựa vào những cấu tạo tự tại, giản dị rộng lớn và hoàn toàn có thể được triển khai hiệu suất cao rộng lớn vô PC.

Máy tính[sửa | sửa mã nguồn]

Một số nguyên vẹn thông thường là một trong những loại tài liệu nguyên vẹn thủy trong những ngữ điệu PC. Tuy nhiên, loại tài liệu số nguyên vẹn chỉ hoàn toàn có thể đại diện thay mặt cho 1 tụ tập con cái của toàn bộ những số nguyên vẹn, vì thế PC thực tiễn với dung tích hữu hạn. Bên cạnh đó, vô trình diễn phép tắc bù nhì thông dụng, khái niệm cố hữu của vết phân biệt thân thích "âm" và "không âm" chứ không "âm, dương và 0 ". (Tuy nhiên, chắc hẳn rằng PC hoàn toàn có thể xác lập được liệu một độ quý hiếm số nguyên vẹn với thực sự là số dương hay là không.) Các loại tài liệu xấp xỉ số nguyên vẹn có tính nhiều năm cố định và thắt chặt (hoặc tụ tập con) được ký hiệu là int hoặc Integer vô một vài ngữ điệu xây dựng (chẳng hạn như Algol68, C, Java, Delphi, v.v..).

Các trình diễn số nguyên vẹn có tính nhiều năm thay cho thay đổi, ví dụ như bignum, hoàn toàn có thể tàng trữ ngẫu nhiên số nguyên vẹn này vừa phải với bộ nhớ lưu trữ của dòng sản phẩm tính. Các loại tài liệu số nguyên vẹn không giống được thực hiện với độ dài rộng cố định và thắt chặt, thông thường là một vài bit là lũy quá của 2 (4, 8, 16, v.v.) hoặc một vài chữ số thập phân (ví dụ: 9 hoặc 10).

Lực lượng[sửa | sửa mã nguồn]

Lực lượng của tụ tập những số lý do ℵ0 (aleph-null). Điều được đơn giản và dễ dàng chứng tỏ bằng sự việc kiến tạo một tuy vậy ánh, ê là một trong những hàm đơn ánh và toàn ánh kể từ cho tới . Nếu như tiếp sau đó đánh giá hàm sau:

{... (−4,8) (−3,6) (−2,4) (−1,2) (0,0) (1,1) (2,3) (3,5)...}

Nếu như thì tao đánh giá hàm sau:

Xem thêm: manufactured là gì

{... (−4,8) (−3,6) (−2,4) (−1,2) (0,1) (1,3) (2,5) (3,7)...}

Nếu miền bị giới hạn vô vậy thì từng và từng thành phần của với 1 và có một thành phần ứng của và theo dõi khái niệm của đồng đẳng lực lượng thì nhì tụ tập này còn có lực lượng đều nhau.

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

  • Số vô tỉ
  • Số hữu tỉ
  • Số nguyên vẹn tố
  • Số tự động nhiên
  • Số đại số
  • Số siêu việt
  • Số thực
  • Số phức
  • Số siêu phức

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ a b c Weisstein, Eric W., "Số nguyên" kể từ MathWorld.
  2. ^ a b c “Compendium of Mathematical Symbols”. Math Vault (bằng giờ Anh). 1 mon 3 năm 2020. Truy cập ngày 11 mon 8 năm 2020.
  3. ^ Weisstein, Eric W. “Integer”. mathworld.wolfram.com (bằng giờ Anh). Truy cập ngày 11 mon 8 năm 2020.
  4. ^ Miller, Jeff (29 mon 8 năm 2010). “Earliest Uses of Symbols of Number Theory”. Bản gốc tàng trữ ngày 31 mon một năm 2010. Truy cập ngày trăng tròn mon 9 năm 2010.
  5. ^ Peter Jephson Cameron (1998). Introduction to lớn Algebra. Oxford University Press. tr. 4. ISBN 978-0-19-850195-4. Bản gốc tàng trữ ngày 8 mon 12 năm 2016. Truy cập ngày 15 mon hai năm 2016.
  6. ^ Keith Pledger and Dave Wilkins, "Edexcel AS and A Level Modular Mathematics: Vi xử lý Core Mathematics 1" Pearson 2008
  7. ^ LK Turner, FJ BUdden, D Knighton, "Advanced Mathematics", Book 2, Longman 1975.
  8. ^ “Integer | mathematics”. Encyclopedia Britannica (bằng giờ Anh). Truy cập ngày 11 mon 8 năm 2020.
  9. ^ “The Definitive Higher Math Guide to lớn Long Division and Its Variants — for Integers”. Math Vault (bằng giờ Anh). 24 mon hai năm 2019. Truy cập ngày 11 mon 8 năm 2020.
  10. ^ Serge, Lang (1993). Algebra (ấn bạn dạng 3). Addison-Wesley. tr. 86–87. ISBN 978-0-201-55540-0.
  11. ^ Warner, Seth (2012). Modern Algebra. Dover Books on Mathematics. Courier Corporation. Theorem trăng tròn.14, p. 185. ISBN 978-0-486-13709-4. Bản gốc tàng trữ ngày 6 mon 9 năm 2015. Truy cập ngày 29 tháng tư năm 2015.
  12. ^ Mendelson, Elliott (2008). Number Systems and the Foundations of Analysis. Dover Books on Mathematics. Courier Dover Publications. tr. 86. ISBN 978-0-486-45792-5. Bản gốc tàng trữ ngày 8 mon 12 năm 2016. Truy cập ngày 15 mon hai năm 2016.
  13. ^ Ivorra Castillo: Álgebra
  14. ^ Frobisher, Len (1999). Learning to lớn Teach Number: A Handbook for Students and Teachers in the Primary School. The Stanley Thornes Teaching Primary Maths Series. Nelson Thornes. tr. 126. ISBN 978-0-7487-3515-0. Bản gốc tàng trữ ngày 8 mon 12 năm 2016. Truy cập ngày 15 mon hai năm 2016.
  15. ^ a b c Campbell, Howard E. (1970). The structure of arithmetic. Appleton-Century-Crofts. tr. 83. ISBN 978-0-390-16895-5.
  16. ^ Garavel, Hubert (2017). On the Most Suitable Axiomatization of Signed Integers. Post-proceedings of the 23rd International Workshop on Algebraic Development Techniques (WADT'2016). Lecture Notes in Computer Science. 10644. Springer. tr. 120–134. doi:10.1007/978-3-319-72044-9_9. Lưu trữ bạn dạng gốc ngày 26 mon một năm 2018. Truy cập ngày 25 mon một năm 2018.

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

Wikimedia Commons nhận thêm hình hình họa và phương tiện đi lại truyền đạt về Số nguyên.
  • Số nguyên vẹn bên trên MathWorld.