z là số gì

By Admin 28/10/2023 0
Cấu trúc đại số → lý thuyết nhóm
Lý thuyết nhóm

Thuật ngữ cơ bản

  • Nhóm con
  • Nhóm con cái chuẩn chỉnh tắc
  • Nhóm thương
  • Tích trực tiếp
  • Tích nửa trực tiếp
Đồng cấu nhóm
  • hạt nhân
  • ảnh
  • tổng trực tiếp
  • tích bện
  • đơn
  • hữu hạn
  • vô hạn
  • liên tục
  • nhân
  • cộng tính
  • cyclic
  • giao hoán
  • nhị diện
  • lũy linh
  • giải được
  • tác động
  • Từ vựng người sử dụng nhập lý thuyết nhóm
  • Danh sách những chủ thể nhập lý thuyết nhóm

Nhóm hữu hạn

Bạn đang xem: z là số gì

Phân loại group đơn hữu hạn
  • cyclic
  • thay phiên
  • dạng Lie
  • sporadic
  • định lý Cauchy
  • định lý Lagrange
  • Định lý Sylow
  • Định lý Hall
  • p-nhóm
  • Nhóm abel sơ cấp
  • Nhóm Frobenius
  • Nhân tử Schur

Nhóm Mathieu

  • M11
  • M12
  • M22
  • M23
  • M24

Nhóm Conway

  • Co1
  • Co2
  • Co3

Nhóm Janko

  • J1
  • J2
  • J3
  • J4

Nhóm Fischer

  • F22
  • F23
  • F24
  • nhóm đối xứng Sn
  • Nhóm tư Klein V
  • Nhóm nhị diện Dn
  • Nhóm Quaternion Q
  • Nhóm Dicyclic Dicn
  • Nhóm tách rạc
  • Lưới
  • Số vẹn toàn ()
  • Nhóm tự động do

Nhóm tế bào đun

  • PSL(2, )
  • SL(2, )
  • Nhóm số học
  • Lưới
  • Nhóm hyperbolic

Tô pô và group Lie

  • Solenoid
  • Đường tròn
  • Tuyến tính tổng quát lác GL(n)
  • Tuyến tính quan trọng đặc biệt SL(n)
  • Trực phó O(n)
  • Euclid E(n)
  • Trực phó quan trọng đặc biệt SO(n)
  • Unita U(n)
  • Unita quan trọng đặc biệt SU(n)
  • Symplectic Sp(n)
  • G2
  • F4
  • E6
  • E7
  • E8
  • Lorentz
  • Poincaré
  • Bảo giác
  • Vi đồng phôi
  • Vòng

Nhóm Lie vô hạn chiều

  • O(∞)
  • SU(∞)
  • Sp(∞)

Nhóm đại số

  • Nhóm đại số tuyến tính
  • Nhóm khả quy
  • Đa tạp phó hoán
  • Đường cong elliptic
  • x
  • t
  • s

Trong toán học tập, số nguyên được khái niệm một cơ hội thông thườn là một vài hoàn toàn có thể được ghi chép nhưng mà không tồn tại bộ phận phân số. Ví dụ: 21, 4, 0 và −2048 là những số vẹn toàn, trong những lúc 9,75, 5 1/2 và ko nên là số vẹn toàn.

Tập hợp ý những số vẹn toàn bao hàm 0, những số ngẫu nhiên dương (1, 2, 3,...), còn được gọi là số đếm,[1][1] và những nghịch tặc hòn đảo quy tắc nằm trong của bọn chúng (là những số vẹn toàn âm, tức là, −1, −2, −3, ...). Tập hợp ý những số vẹn toàn thông thường được biểu thị bằng văn bản in đậm (Z) hoặc chữ rộng lớn sở hữu viền với vần âm "Z" bắt mối cung cấp kể từ giờ đồng hồ Đức Zahlen (nghĩa là "số").[2][3][4][5] là một trong những tập trung con cái của tập trung những số hữu tỷ , cho tới lượt nó là một trong những tập trung con cái của tập trung những số thực . Giống như tập trung những số ngẫu nhiên, là tập trung vô hạn kiểm điểm được.

Các số vẹn toàn tạo ra trở thành group nhỏ nhất và vòng nhỏ nhất chứa chấp những số ngẫu nhiên. Trong lý thuyết số đại số, những số vẹn toàn nhiều khi được xem như là số vẹn toàn hữu tỉ nhằm phân biệt bọn chúng với những số vẹn toàn đại số tổng quát lác rộng lớn. Trên thực tiễn, số vẹn toàn (hữu tỉ) là số vẹn toàn đại số nhưng mà cũng chính là số hữu tỉ.

Ký hiệu[sửa | sửa mã nguồn]

Biểu tượng hoàn toàn có thể được dùng để làm biểu thị những tập trung không giống nhau, với cơ hội dùng không giống nhau Một trong những người sáng tác không giống nhau: ,[2] hoặc so với những số vẹn toàn dương, hoặc cho những số vẹn toàn ko âm và cho những số vẹn toàn không giống 0. Một số người sáng tác dùng ký hiệu cho những số vẹn toàn không giống 0, trong những lúc những người dân không giống dùng nó cho những số vẹn toàn ko âm hoặc cho tới {–1, 1}. Dường như, được dùng nhằm biểu thị luyện những số vẹn toàn modulo p[2] (tức là luyện những lớp đồng dư của những số nguyên) hoặc luyện những số vẹn toàn p -adic.[1][6][7]. nên là nếu còn muốn dùng ký hiệu hoặc ký hiệu thì nên khái niệm lại bên trên đề đánh giá, nếu như bên trên đề không tồn tại khái niệm thì coi như đề này đó là sai. Có một vài bài bác Việc chứng tỏ quy hấp thụ thông thường hoặc dùng nhằm loại lên đường tình huống không giống ko.Chúng tao nên địa thế căn cứ nhập sách giáo khoa lớp 6 thực hiện địa thế căn cứ, nhập sách lớp 6 tập trung số vẹn toàn chỉ mất kí hiệu là Z nên lúc tất cả chúng ta cho tới đề nhưng mà sở hữu dùng ký hiệu không giống thông thường như hoặc thì tất cả chúng ta nên khái niệm bên trên đề là hoặc là tập trung những số ngẫu nhiên không giống ko, nếu như không tồn tại khái niệm bên trên đề thì coi như đề này đó là sai

Tính chất[sửa | sửa mã nguồn]

Các số vẹn toàn hoàn toàn có thể được xem như là những điểm tách rốc, cơ hội đều nhau bên trên một trục số nhiều năm vô hạn. Tại hình bên trên, những số vẹn toàn ko âm được hiển thị vày màu xanh da trời lam và số vẹn toàn âm red color.

Giống giống như những số ngẫu nhiên, là tập trung đóng góp với những quy tắc toán nằm trong và nhân, tức là tổng và tích của nhị số vẹn toàn ngẫu nhiên là một vài vẹn toàn. Tuy nhiên, với việc bao hàm cả những số vẹn toàn âm (và cần thiết là 0), , không phải như những số ngẫu nhiên, cũng chính là tập trung đóng góp với quy tắc trừ.[8]

Các số vẹn toàn tạo ra trở thành một vòng đơn vị chức năng, vốn liếng là vòng cơ bạn dạng nhất, theo đòi nghĩa sau: so với ngẫu nhiên vòng đơn vị chức năng này, đều phải có một quy tắc đồng cấu độc nhất kể từ những số vẹn toàn nhập vòng này. Thuộc tính phổ quát lác này, rõ ràng là một trong những đối tượng người tiêu dùng lúc đầu nhập loại vòng, là đặc thù cho tới vòng .

ko đóng góp với quy tắc phân tách, vì như thế thương của nhị số vẹn toàn (ví dụ: 1 phân tách cho tới 2) hoàn toàn có thể ko là số vẹn toàn. Mặc mặc dù những số ngẫu nhiên là đóng góp với quy tắc lũy quá, tuy nhiên những số vẹn toàn thì ko (vì sản phẩm hoàn toàn có thể là một trong những phân số Khi số nón là âm).

Bảng sau liệt kê một vài đặc thù cơ bạn dạng của quy tắc nằm trong và quy tắc nhân so với ngẫu nhiên số vẹn toàn a, b và c:

Tính hóa học của quy tắc nằm trong và quy tắc nhân bên trên số nguyên
Phép cộng Phép nhân
Tính đóng: a + b là số nguyên a × b là số nguyên
Tính kết hợp: a + (b + c) = (a + b) + c a × (b × c) = (a × b) × c
Tính phó hoán: a + b = b + a a × b = b × a
Tồn bên trên thành phần đơn vị: a + 0 = a a × 1 = a
Tồn bên trên thành phần nghịch tặc đảo: a + (−a) = 0 Số vẹn toàn độc nhất sở hữu thành phần nghịch tặc hòn đảo (gọi là đơn vị) là −1 và 1.
Thuộc tính phân phối: a × (b + c) = (a × b) + (a × c) và (a + b) × c = (a × c) + (b × c)
Không sở hữu ước số của 0: Nếu a × b = 0, thì a = 0 hoặc b = 0 (hoặc cả hai)

Trong ngôn từ của đại số trừu tượng, năm tính chất trước tiên được liệt kê phía trên xác định rằng là một trong những group abel với quy tắc nằm trong. Nó cũng là một trong những group cyclic, vì như thế từng số vẹn toàn không giống 0 đều hoàn toàn có thể được ghi chép bên dưới dạng tổng hữu hạn 1 + 1 +... + 1 hoặc (−1) + (−1) +... + (−1). Trên thực tiễn, với quy tắc nằm trong là nhóm tuần trả vô hạn duy nhất — theo đòi tức là ngẫu nhiên group tuần trả vô hạn này đều là đẳng cấu với .

Bốn tính chất trước tiên được liệt kê phía trên được chấp nhận nhân bảo rằng cùng theo với quy tắc nhân là một trong những monoid phó hoán. Tuy nhiên, ko nên từng số vẹn toàn đều phải có nghịch tặc hòn đảo nhân (như tình huống của số 2), tức là với quy tắc nhân ko nên là một trong những group.

Tất cả những quy tắc kể từ bảng tính chất bên trên (ngoại trừ quy tắc cuối cùng), Khi được kết phù hợp với nhau, bảo rằng cùng theo với quy tắc nằm trong và quy tắc nhân là một trong những vòng phó hoán sở hữu thành phần đơn vị chức năng. Nó là vẹn toàn khuôn của toàn bộ những đối tượng người tiêu dùng của cấu hình đại số vì vậy. Chỉ những đẳng thức của biểu thức là đúng trong những cho tới toàn bộ những độ quý hiếm của thay đổi, thì cũng chính là đúng trong những ngẫu nhiên vòng phó hoán sở hữu đơn vị chức năng này. Một số số vẹn toàn không giống 0 ánh xạ cho tới 0 nhập một vài vòng chắc chắn.

Việc thiếu hụt những ước số của 0 trong số số vẹn toàn (thuộc tính ở đầu cuối nhập bảng) tức là vòng phó hoán là một trong những miền vẹn toàn.

Việc thiếu hụt những quy tắc nghịch tặc hòn đảo của quy tắc nhân, tương tự với thực tiễn là ko nên là đóng góp với quy tắc phân tách, tức là không phải là một trong những ngôi trường. Trường nhỏ nhất chứa chấp những số vẹn toàn bên dưới dạng một vòng con cái là ngôi trường những số hữu tỉ. Quá trình xây cất những số hữu tỉ kể từ những số vẹn toàn hoàn toàn có thể được làm theo muốn tạo trở thành ngôi trường phân số của ngẫu nhiên miền vẹn toàn này. Và ngược lại, chính thức kể từ ngôi trường số đại số (phần không ngừng mở rộng của số hữu tỉ), vòng số vẹn toàn của chính nó hoàn toàn có thể được trích xuất, bao hàm như thể vòng con cái của chính nó.

Mặc mặc dù quy tắc phân tách thường thì ko được khái niệm bên trên , quy tắc phân tách "với phần dư" được xác lập bên trên bọn chúng. Nó được gọi là quy tắc phân tách Euclid, và sở hữu đặc thù cần thiết sau: cho tới nhị số vẹn toàn a và b với b ≠ 0, tồn bên trên những số vẹn toàn q và r độc nhất sao cho tới a = q × b + r và 0 ≤ r < |b|, ở đâu |b| biểu thị độ quý hiếm vô cùng của b.[9] Số vẹn toàn q được gọi là thương và r được gọi là phần dư của quy tắc phân tách a cho tới b. Thuật toán Euclid nhằm tính ước số cộng đồng lớn số 1 sinh hoạt với 1 chuỗi những quy tắc phân tách Euclid.

Một lần tiếp nữa, nhập ngôn từ của đại số trừu tượng, phần bên trên bảo rằng là một trong những vòng Euclid. Như vậy ý niệm rằng là một trong những vòng ideal chủ yếu và ngẫu nhiên số vẹn toàn dương nào thì cũng hoàn toàn có thể được ghi chép bên dưới dạng tích của những số thành phần theo đòi một cơ hội cơ bạn dạng độc nhất.[10] Đây là toan lý cơ bạn dạng của số học tập.

Thuộc tính lý thuyết loại tự[sửa | sửa mã nguồn]

là một trong những tập trung sở hữu trật tự trọn vẹn không tồn tại số lượng giới hạn bên trên hoặc bên dưới. Thứ tự động của được khái niệm là: :... −3 < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < 3 <... Một số vẹn toàn là dương nếu như nó to hơn 0 và âm nếu như nó nhỏ rộng lớn 0. Số ko (0) được khái niệm là ko âm cũng ko dương.

Thứ tự động của những số vẹn toàn tương mến với những quy tắc toán đại số Theo phong cách sau:

  1. Nếu a < b và c < d, thì a + c < b + d
  2. Nếu a < b và 0 < c, thì ac < bc.

Vì vậy, tao Tóm lại rằng cùng theo với trật tự bên trên là một trong những vòng sở hữu trật tự.

Các số vẹn toàn là group abel sở hữu trật tự trọn vẹn ko tầm thông thường độc nhất sở hữu những thành phần dương được bố trí theo đòi trật tự phù hợp.[11] Như vậy tương tự với tuyên thân phụ rằng ngẫu nhiên vòng Đánh Giá Noether nào thì cũng là một trong những ngôi trường — hoặc một vòng định vị vô nằm trong cần thiết.

Xây dựng[sửa | sửa mã nguồn]

Representation of equivalence classes for the numbers −5 đồ sộ 5
Các điểm red color thể hiện tại những cặp số ngẫu nhiên sở hữu trật tự. Các điểm red color được links là những lớp tương tự đại diện thay mặt cho những số vẹn toàn màu xanh da trời lam ở cuối loại.

Trong quy trình dạy dỗ học tập ở ngôi trường đái học tập, những số vẹn toàn thông thường được khái niệm một cơ hội trực quan tiền là những số ngẫu nhiên (dương), số 0 và những số đối của những số ngẫu nhiên. Tuy nhiên, loại khái niệm này kéo đến nhiều tình huống không giống nhau (mỗi quy tắc toán số học tập rất cần phải xác lập bên trên từng tổng hợp những loại số nguyên) và khiến cho việc chứng tỏ rằng những số vẹn toàn tuân theo đòi những toan luật số học tập không giống nhau trở thành tẻ nhạt nhẽo.[12] Do cơ, nhập toán học tập lý thuyết tập trung tiến bộ, một cấu hình trừu tượng hơn[13] được chấp nhận người tao xác lập những quy tắc toán số học tập nhưng mà không tồn tại ngẫu nhiên phân biệt tình huống này thông thường được dùng để thay thế thế.[14] Do cơ, những số vẹn toàn hoàn toàn có thể được xây cất đầu tiên giống như những lớp tương tự của những cặp số ngẫu nhiên sở hữu trật tự (a,b).[15]

Trực giác là (a,b) là ghi chép tắt của sản phẩm của quy tắc trừ a-b.[15] Để xác nhận kỳ vọng của tất cả chúng ta rằng 1 − 2 và 4 − 5 biểu thị nằm trong một vài, tất cả chúng ta xác lập mối quan hệ tương tự ~ bên trên những cặp này với quy tắc sau:

Xem thêm: hà tiện là gì

chỉ khi

Phép nằm trong và quy tắc nhân những số vẹn toàn hoàn toàn có thể được khái niệm theo đòi những quy tắc toán tương tự bên trên những số tự động nhiên;[15] bằng phương pháp dùng [(a,b)] nhằm biểu thị lớp tương tự sở hữu (a,b) là member, lớp này có:

Số đối (hoặc quy tắc nghịch tặc hòn đảo của quy tắc cộng) của một vài vẹn toàn đạt được bằng phương pháp hòn đảo ngược trật tự của cặp:

Do cơ quy tắc trừ hoàn toàn có thể được khái niệm là quy tắc cùng theo với nghịch tặc hòn đảo của quy tắc cộng:

Thứ tự động chi chuẩn chỉnh bên trên những số vẹn toàn được thể hiện với bất đẳng thức:

Khi và chỉ Khi

Dễ dàng xác minh rằng những khái niệm này sẽ không tùy theo việc lựa lựa chọn đại diện thay mặt của những lớp tương tự.

Mọi lớp tương tự sở hữu một member độc nhất sở hữu dạng (n,0) hoặc (0,n) (hoặc cả nhị và một lúc). Số ngẫu nhiên n được xác lập với lớp [(n,0)] (nghĩa là, những số ngẫu nhiên được nhúng nhập những số vẹn toàn bằng phương pháp ánh xạ gửi n cho tới [(n,0)]) và lớp [(0,n)] được ký hiệu −n (điều này bao hàm toàn bộ những lớp còn sót lại và cho tới lớp [(0,0)] gấp đôi vì thế −0 = 0.

Do cơ, [(a,b)] được ký hiệu là

Nếu những số ngẫu nhiên được xác lập với những số vẹn toàn ứng (sử dụng quy tắc nhúng được nhắc ở trên), thì quy ước này sẽ không đưa đến sự mơ hồ nước.

Ký hiệu này hồi phục màn trình diễn thân thuộc của những số vẹn toàn là {..., −2, −1, 0, 1, 2,...} {..., −2, −1, 0, 1, 2,...} {..., −2, −1, 0, 1, 2,...} {..., −2, −1, 0, 1, 2,...}.

Một số ví dụ:

Trong khoa học tập PC lý thuyết, những cơ hội tiếp cận không giống nhằm xây cất những số vẹn toàn được dùng vày những máy thám thính toan lý tự động hóa và những khí cụ ghi chép lại thuật ngữ. Số vẹn toàn được màn trình diễn bên dưới dạng những thuật ngữ đại số được xây cất bằng phương pháp dùng một vài ba quy tắc toán cơ bạn dạng (ví dụ: zero, succ, pred) và, hoàn toàn có thể, dùng những số ngẫu nhiên, được giả thiết là và đã được xây cất (sử dụng cách thức Peano).

Tồn bên trên tối thiểu chục cơ hội xây cất những số vẹn toàn sở hữu vết.[16] Các cấu hình này không giống nhau theo đòi một vài cách: con số những quy tắc toán cơ bạn dạng được dùng cho tới cấu hình, con số (thường là kể từ 0 cho tới 2) và những loại đối số được những quy tắc toán này chấp nhận; sự hiện hữu hoặc vắng tanh mặt mũi của những số ngẫu nhiên thực hiện đối số của một vài quy tắc toán này và thực tiễn là những quy tắc toán này còn có nên là hàm tạo ra tự tại hay là không, tức là nằm trong một vài vẹn toàn hoàn toàn có thể được màn trình diễn chỉ vày một hoặc nhiều số hạng đại số.

Kỹ thuật xây cất những số vẹn toàn được trình diễn phía trên nhập phần này ứng với tình huống rõ ràng nhập cơ sở hữu một cặp quy tắc toán cơ bạn dạng duy nhất nhận đối số là nhị số ngẫu nhiên và và trả về một vài vẹn toàn (bằng ). Thao tác này sẽ không tự tại vì như thế số vẹn toàn 0 hoàn toàn có thể được ghi chép là cặp (0,0), hoặc cặp (1,1) hoặc cặp (2,2), v.v. Kỹ thuật xây cất này được dùng vày trợ lý chứng tỏ Isabelle; tuy vậy, nhiều khí cụ không giống dùng những chuyên môn xây cất thay cho thế, xứng đáng lưu ý là những chuyên môn dựa vào những cấu hình tự tại, giản dị và đơn giản rộng lớn và hoàn toàn có thể được triển khai hiệu suất cao rộng lớn nhập PC.

Máy tính[sửa | sửa mã nguồn]

Một số vẹn toàn thông thường là một trong những loại tài liệu vẹn toàn thủy trong số ngôn từ PC. Tuy nhiên, loại tài liệu số vẹn toàn chỉ hoàn toàn có thể đại diện thay mặt cho 1 tập trung con cái của toàn bộ những số vẹn toàn, vì như thế PC thực tiễn sở hữu dung tích hữu hạn. Dường như, nhập màn trình diễn quy tắc bù nhị thịnh hành, khái niệm cố hữu của vết phân biệt thân thiết "âm" và "không âm" chứ không "âm, dương và 0 ". (Tuy nhiên, chắc chắn là PC hoàn toàn có thể xác lập được liệu một độ quý hiếm số vẹn toàn sở hữu thực sự là số dương hay là không.) Các loại tài liệu xấp xỉ số vẹn toàn có tính nhiều năm thắt chặt và cố định (hoặc tập trung con) được ký hiệu là int hoặc Integer nhập một vài ngôn từ xây dựng (chẳng hạn như Algol68, C, Java, Delphi, v.v..).

Các màn trình diễn số vẹn toàn có tính nhiều năm thay cho thay đổi, ví dụ như bignum, hoàn toàn có thể tàng trữ ngẫu nhiên số vẹn toàn này vừa vặn với bộ lưu trữ của sản phẩm tính. Các loại tài liệu số vẹn toàn không giống được tổ chức thực hiện với độ cao thấp thắt chặt và cố định, thông thường là một vài bit là lũy quá của 2 (4, 8, 16, v.v.) hoặc một vài chữ số thập phân (ví dụ: 9 hoặc 10).

Lực lượng[sửa | sửa mã nguồn]

Lực lượng của tập trung những số vẹn toàn vày ℵ0 (aleph-null). Điều được đơn giản chứng tỏ bằng sự việc xây cất một tuy vậy ánh, cơ là một trong những hàm đơn ánh và toàn ánh kể từ cho tới . Nếu như tiếp sau đó đánh giá hàm sau:

{... (−4,8) (−3,6) (−2,4) (−1,2) (0,0) (1,1) (2,3) (3,5)...}

Nếu như thì tao đánh giá hàm sau:

Xem thêm: milky way la gi

{... (−4,8) (−3,6) (−2,4) (−1,2) (0,1) (1,3) (2,5) (3,7)...}

Nếu miền bị giới hạn nhập vậy thì từng và từng thành phần của sở hữu một và duy nhất thành phần ứng của và theo đòi khái niệm của đồng đẳng lực lượng thì nhị tập trung này còn có lực lượng đều nhau.

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

  • Số vô tỉ
  • Số hữu tỉ
  • Số vẹn toàn tố
  • Số tự động nhiên
  • Số đại số
  • Số siêu việt
  • Số thực
  • Số phức
  • Số siêu phức

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ a b c Weisstein, Eric W., "Số nguyên" kể từ MathWorld.
  2. ^ a b c “Compendium of Mathematical Symbols”. Math Vault (bằng giờ đồng hồ Anh). 1 mon 3 năm 2020. Truy cập ngày 11 mon 8 năm 2020.
  3. ^ Weisstein, Eric W. “Integer”. mathworld.wolfram.com (bằng giờ đồng hồ Anh). Truy cập ngày 11 mon 8 năm 2020.
  4. ^ Miller, Jeff (29 mon 8 năm 2010). “Earliest Uses of Symbols of Number Theory”. Bản gốc tàng trữ ngày 31 mon một năm 2010. Truy cập ngày đôi mươi mon 9 năm 2010.
  5. ^ Peter Jephson Cameron (1998). Introduction đồ sộ Algebra. Oxford University Press. tr. 4. ISBN 978-0-19-850195-4. Bản gốc tàng trữ ngày 8 mon 12 năm 2016. Truy cập ngày 15 mon hai năm 2016.
  6. ^ Keith Pledger and Dave Wilkins, "Edexcel AS and A Level Modular Mathematics: Chip Core Mathematics 1" Pearson 2008
  7. ^ LK Turner, FJ BUdden, D Knighton, "Advanced Mathematics", Book 2, Longman 1975.
  8. ^ “Integer | mathematics”. Encyclopedia Britannica (bằng giờ đồng hồ Anh). Truy cập ngày 11 mon 8 năm 2020.
  9. ^ “The Definitive Higher Math Guide đồ sộ Long Division and Its Variants — for Integers”. Math Vault (bằng giờ đồng hồ Anh). 24 mon hai năm 2019. Truy cập ngày 11 mon 8 năm 2020.
  10. ^ Serge, Lang (1993). Algebra (ấn bạn dạng 3). Addison-Wesley. tr. 86–87. ISBN 978-0-201-55540-0.
  11. ^ Warner, Seth (2012). Modern Algebra. Dover Books on Mathematics. Courier Corporation. Theorem đôi mươi.14, p. 185. ISBN 978-0-486-13709-4. Bản gốc tàng trữ ngày 6 mon 9 năm 2015. Truy cập ngày 29 tháng bốn năm 2015.
  12. ^ Mendelson, Elliott (2008). Number Systems and the Foundations of Analysis. Dover Books on Mathematics. Courier Dover Publications. tr. 86. ISBN 978-0-486-45792-5. Bản gốc tàng trữ ngày 8 mon 12 năm 2016. Truy cập ngày 15 mon hai năm 2016.
  13. ^ Ivorra Castillo: Álgebra
  14. ^ Frobisher, Len (1999). Learning đồ sộ Teach Number: A Handbook for Students and Teachers in the Primary School. The Stanley Thornes Teaching Primary Maths Series. Nelson Thornes. tr. 126. ISBN 978-0-7487-3515-0. Bản gốc tàng trữ ngày 8 mon 12 năm 2016. Truy cập ngày 15 mon hai năm 2016.
  15. ^ a b c Campbell, Howard E. (1970). The structure of arithmetic. Appleton-Century-Crofts. tr. 83. ISBN 978-0-390-16895-5.
  16. ^ Garavel, Hubert (2017). On the Most Suitable Axiomatization of Signed Integers. Post-proceedings of the 23rd International Workshop on Algebraic Development Techniques (WADT'2016). Lecture Notes in Computer Science. 10644. Springer. tr. 120–134. doi:10.1007/978-3-319-72044-9_9. Lưu trữ bạn dạng gốc ngày 26 mon một năm 2018. Truy cập ngày 25 mon một năm 2018.

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

Wikimedia Commons nhận thêm hình hình ảnh và phương tiện đi lại truyền đạt về Số nguyên.
  • Số vẹn toàn bên trên MathWorld.